Anais

Este trabalho tem como objetivo refletir sobre a utilização de jogos no ensino da disciplina Matemática, partindo de discussões teóricas que dialogam com essa temática. Trata-se de uma pesquisa de abordagem qualitativa e natureza bibliográfica, baseada em autores que discutem o uso dos jogos como recurso pedagógico no processo de ensino e aprendizagem da Matemática. Muitos alunos caracterizam a Matemática como uma matéria difícil de estudar e, em diversas situações, os professores também enfrentam dificuldades para fazer com que os estudantes realmente aprendam. Isso ocorre, muitas vezes, porque os alunos relatam que o conhecimento matemático não é importante e não é usado no dia a dia, o que gera desinteresse. Diante disso, é importante que o professor busque metodologias diferenciadas para o ensino. Uma dessas metodologias é a inserção de jogos, “visto como um agente cognitivo que auxilia o/a aluno/a a agir livremente sobre suas ações e decisões, fazendo com que ele desenvolva, além do conhecimento matemático” (LARA, 2011, p. 22), o que pode tornar o aprendizado mais dinâmico e motivador. Assim, “o professor que não procura aprimorar seu conhecimento ou buscar novas metodologias, acaba reproduzindo práticas que não conseguem mais mobilizar os educandos, dificultando a participação destes no processo de ensino de Matemática” (RIBAS; MASSA, 2016, p. 6). Além disso, é importante que o professor analise criteriosamente o jogo antes de utilizá-lo, garantindo que os alunos entendam que não se trata de uma simples brincadeira, mas de uma atividade que tem como objetivo tornar o aprendizado mais acessível. Dessa forma, “a aprendizagem por meio de jogos, como dominó, tangram, dobradura, uno, ‘palitinho’, memória e outros, permite que o estudante faça da aprendizagem um processo interessante e até divertido” (FIDELIS et al., 2020, p. 3). Os jogos, ao serem inseridos na metodologia, são eficazes para despertar o interesse dos alunos pelo conteúdo trabalhado, favorecendo a fixação do aprendizado de maneira lúdica e significativa.

Palavras-chave: Ensino de Matemática, Jogos, Metodologias

Este trabalho apresenta uma proposta de ensino de geometria fundamentada na Teoria da Objetivação (TO), de Luis Radford, aplicada em uma turma do 9º ano do Ensino Fundamental da E.M.E.I.E.F. Osvaldo Daxo de Alencar, localizada no distrito de Brejo Grande em Santana do Cariri–CE. O estudo busca compreender como os conceitos de perímetro, área e volume podem ser ensinados de forma significativa, considerando a aprendizagem matemática como prática social e colaborativa, vinculada à realidade dos estudantes. A proposta metodológica foi organizada em quatro etapas, inspiradas nos níveis de objetivação — material, teórico e formal. As atividades foram elaboradas a partir de uma narrativa contextualizada na vida de um casal fictício, Chico e Maria, que vivem em uma fazenda e enfrentam situações que exigem medições, cálculos e representações geométricas. Os alunos trabalharam em grupos, utilizando materiais simples, como palitos, cartolina e papel quadriculado, enquanto o professor atuou como mediador do processo de significação coletiva. Os resultados parciais apontam que o ensino de geometria baseado em práticas culturais e dialógicas promove maior engajamento e compreensão conceitual, além de favorecer a inclusão de alunos com dificuldades de aprendizagem, que se mostraram mais participativos em atividades colaborativas. Observou-se também que o uso de situações próximas ao cotidiano rural estimula o interesse e a reflexão sobre a aplicação da matemática na vida real. Apesar dos avanços, ainda persistem desafios quanto à consolidação do trabalho coletivo e à superação de práticas individualistas. Conclui-se que o ensino orientado pela Teoria da Objetivação contribui para tornar a matemática mais significativa, inclusiva e humanizadora, reforçando o papel do diálogo e da cultura como elementos centrais na aprendizagem.

Palavras-chave: Teoria da Objetivação,Geometria,Ensino Fundamental, Aprendizagem

No dia a dia, em situações rotineiras como no movimento de um cão quando seu tutor o leva para passear, onde ao puxar a trela e o guia seguir sem desvios ou mesmo no cruzamento de uma rodovia por um carro, onde quando dobra a esquina e a roda da frente segue em linha reta, tanto a roda de trás do automóvel quanto o percurso do cachorro desenham uma curva plana, chamada Tractriz, com diversas propriedades peculiares e interessantes. Matematicamente, a Tractriz é a trajetória de um ponto preso a outro com comprimento fixo enquanto o outro percorre uma linha reta. Historicamente estudada por matemáticos importantes como Claude Perrault em 1670, Isaac Newton em 1676, Wilhelm Leibniz e Christiaan Huygens em 1692, além de ter sido um objeto de estudo para o desenvolvimento do Cálculo, também têm aplicações reais nos tempos atuais em acústica, engenharia mecânica, física e na própria matemática, como, por exemplo, no desenho de superfícies de revolução usadas em instrumentos de sopro (como as cornetas e alto-falantes), na fabricação de eixos e no ensino da Geometria Diferencial. O presente trabalho consiste na apresentação dos principais conceitos, propriedades elementares e implicações do estudo da Tractriz no cotidiano e na ciência moderna. Para isso, é apresentado o contexto histórico, representação gráfica e desenvolvimento matemático, por meio da sua parametrização, fórmulas de Frenet, curvatura e aplicações na engenharia mecânica e situações habituais do dia a dia. A elaboração deste trabalho se deu através de abordagem teórica e pesquisas bibliográficas, as quais se buscou investigar, analisar e compreender dados de maneira objetiva para a sua preparação.

Entre tantas definições existentes do conjunto dos números reais, pode-se destacar, pela sua simplicidade conceitual e elegância teórica e matemática, a famosa definição do matemático alemão Richard Dedekind que, em 1872, definiu os números reais com dependência dos números naturais em uma comparação com suas retas, no chamado corte de Dedekind, inspirado na teoria das proporções presente no clássico livro “Os Elementos” de Euclides. A proposta geral dos cortes consiste, de forma resumida, em dividir os números racionais em duas classes (conjuntos), de modo que todos os elementos de uma classe sejam menores que os da outra. Ao fazer uma análise das retas racionais e reais, pode-se afirmar que a reta racional é densa, uma vez que, ao considerar dois pontos quaisquer nela, sempre haverá um terceiro ponto entre eles. De igual modo, a reta real é densa, mas também é continua. Dessa forma, pode-se dizer que, ao ser comparada com a reta racional, a reta real apresenta “furos”, o que levou Dedekind a utilizar o conjunto dos números racionais à direita e à esquerda dos furos para tapá- los. Se o procedimento planejado for executado, a reta racional será transformada em uma reta real. Faz-se necessário citar que existe uma quantidade não enumerável de furos que precisam ser tapados. Isso ocorre porque o conjunto dos números reais é não enumerável, por isso, não se sabe com exatidão da quantidade de furos existentes, além de que eles não podem ser listados em sequência, pois são em quantidade muito maior do que os números naturais ou racionais. Assim sendo, define-se os cortes de Dedekind como qualquer conjunto alpha

O Teorema da Desigualdade Isoperimétrica é, possivelmente, um dos mais antigos da Geometria Diferencial. Na obra “Eneida”, do poeta romano Virgílio (70–19 a.C.), é relatado um episódio envolvendo a rainha Dido: ao buscar acolher seu povo em uma nova terra, Dido negociou com o rei local uma porção de território, o acordo estabelecia que ela poderia ficar com toda a área que conseguisse delimitar utilizando apenas uma única pele de boi. Demonstrando astúcia, Dido cortou o couro em tiras finíssimas, costurou-as, formando uma “corda” e delimitou uma região semicircular no litoral, maximizando, assim, a área obtida. Esse episódio, embora visto como uma lenda, antecipa de forma intuitiva a questão central do problema isoperimétrico: Dentre todas as curvas simples fechadas no plano com um dado comprimento L, qual delas delimita a maior área? A solução desse problema, o círculo, já era conhecida desde a Grécia Antiga. No entanto, uma demonstração rigorosa só foi apresentada em 1870 por K. Weierstrass. Diferentemente dos matemáticos que tentaram resolver o problema antes dele, K. Weierstrass não partiu do pressuposto de que uma solução existia. Ele conseguiu apresentar uma prova completa da existência de uma solução, utilizando sua teoria chamada de cálculo das variações, o que tornava a demonstração um pouco mais complexa. Mais tarde, foram desenvolvidas provas mais diretas elaboradas por E. Schmidt, em 1939, estas foram utilizadas para a demonstração do Teorema em estudo: Seja C uma curva plana simples e fechada com comprimento L, e seja A a área da região limitada por C. Então,

Palavras-chave: Desigualdade Isoperimétrica,Geometria Diferencial,Curvas,Área

O Mapa de Hénon, proposto genuinamente pelo matemático e astrônomo francês Michel Hénon no ano de 1976, nada mais é do que a seção de Poincaré do sistema de Lorenz, sendo este um matemático conhecido pela metaforização do efeito borboleta. O Mapa de Hénon é constituído por um conjunto de duas equações discretas que depende de dois parâmetros principais: um referente à não linearidade e outro à dissipação de energia. O sistema em questão é considerado um dos principais modelos estudados em sistemas dinâmicos não lineares, pois, apesar da sua formulação simples, é capaz de exibir comportamentos complexos, incluindo atratores caóticos que vão desde órbitas periódicas estáveis à trajetórias caóticas. Tais comportamentos auxiliam na compreensão de sistemas físicos, biológicos, econômicos e tantos outros das ciências aplicadas, no que se refere, por exemplo, à transição de turbulência, geometria fractal de atratores caóticos e sincronização. Como o Mapa de Hénon não possui solução analítica, para seu estudo é necessário a utilização de métodos computacionais para obtenção de valores numéricos imprescindíveis na construção de diagramas específicos que permitem a compreensão da dinâmica apresentada, e neste trabalho serão mostrados: o espaço de fases, o diagrama de bifurcação e a série temporal de variáveis dinâmicas. Para tanto, a metodologia utilizada foi a elaboração de programas computacionais a partir da linguagem de programação Python, cujos resultados gráficos foram obtidos graças à funcionalidade da biblioteca matplotlib. Assim, a conclusão trazida neste trabalho é que a matemática aplicada aos sistemas dinâmicos não lineares possibilita ao estudante de graduação a compreensão de comportamentos regulares e caóticos em diferentes áreas das ciências e engenharias.

Palavras-chave: Sistemas dinâmicos,caos,Regularidade

O pêndulo simples é um sistema físico ideal importantíssimo para estudo de movimentos oscilatórios, pois permite uma compreensão de aspectos energéticos que podem ser estendidos a outros sistemas, como biológicos, econômicos, sociais, e assim por diante. Matematicamente, o movimento do pêndulo simples é modelado por uma equação diferencial de segunda ordem não linear, que não possui solução analítica. Diante disso, o objetivo desse trabalho é obter a solução numérica do problema por meio de simulação computacional. Assim, a metodologia empregada consiste em transformar a EDO de segunda ordem em um conjunto com duas EDOs de primeira ordem acopladas. A partir disso, utiliza-se o método de Runge-Kutta de quarta ordem na linguagem de programação FORTRAN 90. Como resultados, são obtidos: (i) o espaço de fases do sistema, que serve para descrever a energia do sistema e (ii) a série temporal da variável dinâmica angular, que descreve o comportamento regular do modelo. Conclui-se que neste trabalho são utilizados artifícios da matemática aplicada, o que abre portas para aplicar métodos computacionais para o estudo de outros sistemas regidos por equações diferenciais ordinárias, destacando assim a interdisciplinaridade proporcionada pela matemática.

Palavras-chave: Pêndulo simples,Modelagem matemática,Simulação numérica

O Teorema de Pitágoras é considerado um dos mais belos e importantes resultados da Matemática, ocupando uma posição especial na história do conhecimento. Embora seja atribuído ao filósofo e matemático grego Pitágoras de Samos, que viveu no século VI a.C. e fundou uma escola dedicada ao estudo dos números e proporções, há evidências de que povos mais antigos já conheciam essa relação. Especificamente, esse resultado afirma que, considerando qualquer triângulo retângulo, a hipotenusa ao quadrado deste triângulo é igual à soma dos quadrados dos catetos. Em símbolos, podemos expressar pela fórmula $a^2= b^2+c^2$, onde a representa a hipotenusa e b e c representam os catetos. Historicamente, esse princípio surgiu da necessidade de resolver problemas práticos na construção civil, especialmente na medição de terrenos, por ser um excelente modelo matemático para calcular distâncias em regiões triangulares. Entretanto, devido à sua simplicidade, tornou-se também um pilar da trigonometria que, por sua vez, serviu de base para importantes avanços tecnológicos em diversas áreas do conhecimento, como por exemplo o Cálculo Diferencial e Integral. Portanto, podemos concluir que este resultado não é apenas uma curiosidade matemática, mas também uma ferramenta essencial para unir aspectos teóricos e práticos. Para isto, basta observar que sua relevância atravessa séculos, sendo consolidada como um marco no desenvolvimento das Ciências Exatas.

Palavras-chave: Geometria,Matemática,Pitágoras,Teorema

A resolução de sistemas de equações lineares por meio do método matricial constitui uma ferramenta essencial na solução de problemas em diversas áreas do conhecimento, como Física, Engenharia, Estatística e, naturalmente na Matemática. Este trabalho apresenta uma abordagem comparativa entre os diferentes métodos de solução matricial desses sistemas: matriz inversa, eliminação de Gauss e regra de Cramer. De início, analisaremos o cálculo pela matriz inversa, destacando que sua aplicabilidade ocorre em sistemas quadrados quando a matriz dos coeficientes possui determinante diferente de zero. No caso da eliminação de Gauss, o objetivo é transformar o sistema em um equivalente e escalonado, tornando ele nesse caso, mais simples, facilitando a resolução por substituição. Por fim, a regra de Cramer é baseada no cálculo de determinantes de matrizes quadradas, geralmente de ordem pequena, onde é calculado o determinante da matriz dos coeficientes e depois é feito a razão do determinante da matriz original, substituindo cada coluna pelos termos independentes para encontrar os valores das incógnitas de forma sucessiva, pelo determinante da matriz geral. Assim, pode-se concluir que a comparação entre os métodos evidencia que a escolha da técnica mais adequada depende da natureza do sistema, da disponibilidade de recursos computacionais do nível de precisão desejado. Logo, compreender os métodos matriciais amplia a capacidade de análise e solução de problemas mais complexos, promovendo maior precisão e eficiência nas aplicações práticas.

A sequência de Fibonacci é uma das sucessões numéricas mais conhecidas na matemática e em algumas áreas das ciências, pelo fato dessa sequência ser capaz de modelar diversos fenômenos naturais a partir de um conceito bastante simples na sua formação. Esse estudo foi realizado a partir de revisões bibliográficas, com o objetivo de apresentar a origem, as propriedades e algumas aplicações desse objeto matemático. A origem dessa sequência é atribuída ao matemático Leonardo de Pisa, que era conhecido como Fibonacci, daí o nome da sequência. Ele a apresentou pela primeira vez na sua obra “Liber Abaci”, de 1202, no fim da idade média. A estrutura que define a sequência é que cada termo resulta da soma dos seus dois termos antecessores, ou seja, pode escrita na forma $F_n = F_{n - 1} + F_{n - 2} a partir das condições iniciais $F_1 = 1$ e $F_2 = 1$. Assim, os primeiros termos dessa sequência são 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, e assim por diante. Essa recorrência foi apresentada no livro a partir da proposta da solução de um problema relacionando ao crescimento de uma comunidade de coelhos, que consistia em determinar um padrão para o comportamento reprodutivo dessas espécies. O enunciado desse problema considerava um casal inicial que, a cada mês, se reproduzia, gerando um novo casal que, após um mês de crescimento, também se reproduzia. Dessa forma, o número de casais em cada mês obedecia a um padrão que corresponde exatamente ao da sequência em questão, evidenciando sua relação como um modelo matemático de crescimento populacional. Outro fato interessante, é que ela apresenta uma relação direta com o número de ouro ϕ (≈ 1,618). Isto se evidencia quando se calcula o limite da razão $F_(n+1)/F_n$ para $n \to +\infty$. Esse número é bastante conhecido historicamente pelas suas propriedades matemáticas e na geometria, além de estar relacionado às áreas artísticas e à arquitetura, pela representação da Proporção Áurea. Além disso, esta sequência também é capaz de representar a modelagem de outros fenômenos naturais. Tanto ela quanto o número de ouro se relacionam, por exemplo, com padrões de crescimento de plantas, na organização das pétalas das flores, nas espirais de conchas, espinhos nas cascas de abacaxis e as sementes de girassol. Esses casos mostram que não é apenas uma curiosidade matemática, mas também uma ferramenta para compreender processos recorrentes e estruturas naturais. Portanto, entende-se, a partir dessas aplicações, que a sequência de Fibonacci vai além do campo da matemática pura, estando fortemente associada a diversas áreas científicas e assumindo papel relevante na representação e modelagem de padrões naturais, o que reforça sua importância como objeto de estudo.

Palavras-chave: Sequência de Fibonacci,Modelagem Natural,Matemática

A sequência de Padovan é amplamente conhecida por sua famosa ordem numérica (1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, ...), pela recorrência de $P_n = P_(n-2) + P_(n-3)$, onde $P_0 = P_1 = P_2 = 1$, ou até mesmo pela equação característica $X^3 - X - 1=0$. É importante salientar que esta recorrência possui origem histórica na Segunda Guerra Mundial, sendo o seu nome atribuído em homenagem ao arquiteto italiano Richard Padovan, o qual se destaca a sua formação na Architectural Association, na cidade de Londres (1952-1957). Além do mais, destaca-se a importância de Gérard Cordonnier com o estudo do número plástico, que teve enorme contribuição para a sequência de Padovan, cuja razão áurea $P_(n+1)/P_n$ é representada por uma espiral conhecida como espiral de Padovan, no qual a formação dela é dada soma de triângulos equiláteros ao lado de maior tamanho do polígono, com a adição de tais triângulos é formado um novo polígono, chamado de pentágono plástico. Dessa forma, com todo este contexto histórico, é possível observar o processo de surgimento, não só da sequência de Padovan, mas também analisar como a fórmula de Binet, cuja fórmula é $P(n) = Ax_1^n + Bx_2^n + Cx_3^n$, e sua representação matricial foram consequências desta recorrência. Com isso, é permitido observar como tal sequência é sucessão da sequência de Fibonacci, contribuindo para a compreensão e a evolução do conhecimento matemático.

Palavras-chave: Sequência de Padovan,Fórmula de Binet,Número Plástico

Python é uma linguagem de programação criada em 1991 pelo matemático e programador Guido van Rossum, que curiosamente atribuiu o nome da marca a partir de uma relação com o grupo humorístico britânico Monty Python, existente há cerca de cinquenta e cinco anos. A versatilidade de se utilizar o Python é nítida em várias vertentes, indo do desenvolvimento de jogos ao avanço da inteligência artificial para problemas de classificação e regressão, cujas técnicas são utilizadas por empresas como o Google. Sob o ponto de vista matemático, o Python é uma ferramenta poderosa para resolução de problemas, dispondo de bibliotecas específicas como o SymPy, que calcula integrais, ou o NumPy, que é utilizado na manipulação eficiente de dados numéricos e muito importante para cálculos de alto desempenho. Existe ainda, por exemplo, a biblioteca Pandas, importante para análise de dados, sendo possível incluir arquivos de quaisquer extensões, como .txt e .dat. Além de todas as funcionalidades apresentadas aqui, a utilização do Python é importante para construção de programas específicos para determinados problemas científicos, cujos resultados numéricos são importantíssimos para inferências sobre o comportamento da natureza. O que há de importante na discussão feita até aqui diz respeito a visualização de dados para uma investigação global dos resultados: a plotagem de gráficos. Isso é possível pela utilização da biblioteca Matplotlib, que dispõe de diversos recursos para a construção de gráficos que atendam a necessidade do pesquisador e do problema em questão. Sendo assim, neste trabalho tem-se por objetivo mostrar a construção de gráficos utilizando funções matemáticas simples, cuja metodologia foi pautada na programação em Python a partir das bibliotecas Numpy e Matplotlib. Conclui-se que este trabalho serve para apresentar aos estudantes, primordialmente dos semestres iniciais do curso de Matemática, a área de matemática aplicada e que os avanços da programação podem permití-los a estudar funções matemáticas dos níveis mais simples aos mais complexos.

Palavras-chave: Funções, gráficos